Question

1．如图，在四棱锥中P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（I）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=2MC，求四棱锥P-ABCD与三棱锥P-QBM的体积之比．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等腰三角形的性质可得：PQ⊥AD，利用菱形的性质与勾股定理的逆定理可得：BQ⊥AD，可得AD⊥平面PQB，即可证明．
（II）过点M作MH∥BC交PB于点H．利用面面垂直的性质定理可得：PQ⊥平面ABCD，利用四棱锥的体积计算公式可得V_P-ABCD，利用面面垂直的判定定理可得：BC⊥平面PQB，于是MH⊥平面PQB，利用V_P-QBM=V_M-PQB即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
设AB=2a，则AQ=a，从而$BQ=\sqrt{3}a$，
∴AQ²+BQ²=AB²，
∴BQ⊥AD，
又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）解：过点M作MH∥BC交PB于点H．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，
∵$PA=PD=AD=2，\;\;∴\;\;PQ=BQ=\sqrt{3}$，
∴${V_{P-ABCD}}=\frac{1}{3}PQ•{S_{菱形ABCD}}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×2×\sqrt{3}=2$，
∴PQ⊥BC，
又∵BQ⊥AD，AD∥BC，
∴BQ⊥BC，
又∵QB∩QP=Q，∴BC⊥平面PQB，
又∵MH∥BC，PM=2MC，∴MH⊥平面PQB，
∴$\frac{MH}{BC}=\frac{PM}{PC}=\frac{2}{3}，BC=2$，
∴$MH=\frac{4}{3}$，
∴${V_{p-QBM}}={V_{M-PQB}}=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\sqrt{3}•\sqrt{3}•\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$，
∴V_P-ABCD：V_p-QBM=3：1．

点评 本题考查了菱形的性质、线面面面垂直的判定与性质定理、勾股定理的逆定理、三棱锥与四棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．