Question

9．在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+y²=1，设AB是过椭圆C中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线，M是l上与O不 重合的点．
（1）求以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程；
（2）若MO=2OA，当点A在椭圆C上运动时，求点M的轨迹方程；
（3）记M是l与椭圆C的交点，若直线AB的方程为y=kx（k＞0），当△AMB面积取最小值时，求直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）求出椭圆一个焦点和顶点，可得双曲线的几何量，即可求出双曲线方程；
（2）设M（x，y），A（m．n），则由题设知：|$\overrightarrow{OM}$|=2|$\overrightarrow{OA}$|，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$=0，求出坐标之间的关系，即可求点M的轨迹方程；
（3）设M（x，y），则A（λy，-λx）（λ∈R，λ≠0），利用S_△AMB=OM•OA，结合基本不等式，即可得出结论．

解答 解：（1）椭圆一个焦点和顶点分别为（$\sqrt{7}$，0），（2$\sqrt{2}$，0），…（1分）
所以在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$中，a=$\sqrt{7}$，c=2$\sqrt{2}$，b=1，
因而双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{7}-{y}^{2}=1$．…（4分）
（2）设M（x，y），A（m．n），则由题设知：|$\overrightarrow{OM}$|=2|$\overrightarrow{OA}$|，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OM}$=0．
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4（{m}^{2}+{n}^{2}）}\\{mx+ny=0}\end{array}\right.$…（5分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}=\frac{1}{4}{y}^{2}}\\{{n}^{2}=\frac{1}{4}{x}^{2}}\end{array}\right.$…（7分）
因为点A（m．n）在椭圆C上，所以$\frac{{m}^{2}}{8}+{n}^{2}$=1，
所以$\frac{（\frac{y}{2}）^{2}}{8}+（\frac{x}{2}）^{2}=1$，
亦即$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$，
所以点M的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{32}=1$．…（9分）
（3）设M（x，y），则A（λy，-λx）（λ∈R，λ≠0），
因为点A在椭圆C上，所以λ²（y²+8x²）=8，即${y}^{2}+8{x}^{2}=\frac{8}{{λ}^{2}}$（i）
又$\frac{{x}^{2}}{8}$+y²=1（ ii）
（i）+（ ii）得x²+y²=$\frac{8}{9}$（1+$\frac{1}{{λ}^{2}}$），…（11分）
所以S_△AMB=OM•OA=$\frac{8}{9}（|λ|+\frac{1}{|λ|}）$≥$\frac{16}{9}$．…（14分）
当且仅当λ=±1（即k_AB=±1）时，（S_△AMB）_min=$\frac{16}{9}$．
又k＞0，所以AB所在直线方程为y=x．…（16分）

点评 本题考查双曲线、椭圆的方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．