Question

3．在△ABC中，设D为边BC的中点，求证：
（1）$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
（2）3$\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}$=2$\overrightarrow{AD}$．

Answer 1

分析 （1）由向量的加法可得：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$．①，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$．②，由$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$，①+②得整理即可得证．
（2）∵令$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，可求$\overrightarrow{BD}$=$\frac{\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{2}$，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$．代入等式证明等式左边等于右边即可．

解答 证明：（1）在△ABD中，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$．①
在△ADC中，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$．②
∵D为BC中点，∴$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC}$，
①+②得：2$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$；
（2）∵令$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$．
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}}{2}$，
∴$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}$=$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$．
等式左边=3$\overrightarrow{AB}$+2$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CA}$=3$\overrightarrow{a}$+2（$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$）+（-$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$．
等式右边=2$\overrightarrow{AD}$=2×$\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}$=$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$．
则左边=右边．等式成立．从而得证．

点评 本题主要考查了向量加减混合运算及其几何意义，属于基本知识的考查．