Question

8．设函数f（x）=ax²+bx，g（x）=lnx，其中a，b为常数．
（1）若a=0，且f（x）与g（x）相切，求b的值；
（2）设函数h（x）=f（x）-g（x）．
①当b=0时，若h（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
②若a+b=0，试讨论h（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）把a=0代入函数的表达式，分别求出函数f（x），g（x）的导数，得到方程组，求出b的值即可；
（2）①b=0时，问题转化为a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），令m（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求出函数m（x）的最大值，从而求出a的范围；
②问题转化为求函数的交点问题，通过讨论a的范围，结合函数的图象，从而求出函数的交点即函数的零点问题．

解答 解：（1）a=0时：f（x）=bx，f′（x）=b，g′（x）=$\frac{1}{x}$，
∵f（x）与g（x）相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{1}{x}}\\{bx=lnx}\end{array}\right.$，解得：b=$\frac{1}{e}$；
（2）函数h（x）=f（x）-g（x）=ax²+bx-lnx，
①b=0时：h（x）=ax²-lnx≥0，a≥$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，（x＞0），
令m（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，则m′（x）=$\frac{x-2xlnx}{{x}^{4}}$=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
令m′（x）＞0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$，令m′（x）＜0，解得：x＞$\sqrt{e}$，
∴函数m（x）在（0，$\sqrt{e}$）递增，在（$\sqrt{e}$，+∞）递减，
∴m（x）_max=m（$\sqrt{e}$）=$\frac{1}{2e}$，
∴a≥$\frac{1}{2e}$；
②若a+b=0，h（x）=ax²-ax-lnx，
令h（x）=0，则ax²-ax=lnx，
问题转化为求函数y=ax²-ax与y=lnx的交点个数问题，
a＞0时，画出函数y=ax²-ax与y=lnx的图象，如图示：
∴函数h（x）有2个零点，
a＜0时，画出函数y=ax²-ax与y=lnx的图象，如图示：
函数有1个零点，
a=0时，f（x）=0，则有lnx=0，
函数有1个零点，
综上：a＞0时，函数有2个零点，a≤0时，函数有1个零点．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，考查转化思想，分类讨论思想，本题是一道中档题．