Question

16．在边长为1的正方形ABCD中，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为$\overrightarrow{{c}_{1}}$，$\overrightarrow{{c}_{2}}$，$\overrightarrow{{c}_{3}}$．若m为（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）的最小值，其中{i，j}⊆{1，2，3}，{s，t}⊆{1，2，3}，则m=-5．

Answer 1

分析 如图建立直角坐标系．不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$分别为$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}$，以C为起点，其余顶点为终点的向量为$\overrightarrow{{c}_{1}}$，$\overrightarrow{{c}_{2}}$，$\overrightarrow{{c}_{3}}$分别为$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$．再分类讨论当i，j，k，l取不同的值时，利用向量的坐标运算计算（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）最小值．

解答 解：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量为$\overrightarrow{{a}_{1}}$，$\overrightarrow{{a}_{2}}$，$\overrightarrow{{a}_{3}}$分别为$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AD}$，以C为起点，其余顶点为终点的向量为$\overrightarrow{{c}_{1}}$，$\overrightarrow{{c}_{2}}$，$\overrightarrow{{c}_{3}}$分别为$\overrightarrow{CD}，\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$．如图建立坐标系．
（1）当i=1，j=2，s=1，t=2时，则（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-5；
（2）当i=1，j=2，s=1，t=3时，则（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，0）+（0，-1）]=-3；
（3）当i=1，j=2，s=2，t=3时，则（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）=[（1，0）+（1，1）]•[（（-1，-1）+（0，-1）]=-4；
（4）当i=1，j=3，s=1，t=2时，则（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）=[（1，0）+（0，1）]•[（（-1，0）+（-1，-1）]=-3；
同样地，当i，j，s，t取其它值时，（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）=-5，-4，或-3．
则（$\overrightarrow{{a}_{i}}$+$\overline{{a}_{j}}$）•（$\overrightarrow{{c}_{s}}$+$\overrightarrow{{c}_{t}}$）的最小值是-5．
故答案为：-5

点评 本小题主要考查平面向量坐标表示、平面向量数量积的运算等基本知识，考查考查分类讨论、化归以及数形结合等数学思想方法，考查分析问题、解决问题的能力