Question

5．如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为$\overrightarrow{d_1}=（{1，k}）$，$\overrightarrow{d_2}=（{1，-k}）（{k＞0}）$，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；
（1）若k=1，$P（{\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$，求|OM|的值；
（2）若P（2，1），△OMP的面积为$\frac{6}{5}$，求k的值；
（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且${S_{△MON}}=\frac{1}{k}$，当P变化时，求|OT|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；
（2）直线OA的方程为kx-y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为$\frac{6}{5}$，求k的值；
（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S_△MON=$\frac{1}{k}$，可得P变化时，动点T轨迹方程，求出|OT|，即可求|OT|的取值范围．

解答 解：（1）∵$P（{\frac{3}{2}，\frac{1}{2}}）$，∴|OP|=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵OA的方程为y=x，即x-y=0，点P到直线的距离为$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|OM|=$\sqrt{\frac{10}{4}-\frac{2}{4}}$=$\sqrt{2}$；
（2）直线OA的方程为kx-y=0，P（2，1）到直线的距离为d=$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴|OM|=$\sqrt{5-\frac{（2k-1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$，
∴△OMP的面积为$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5-\frac{（2k-1）^{2}}{{k}^{2}+1}}$×$\frac{|2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{6}{5}$，
∴$k=\frac{11}{2}或2$；
（3）设M（x₁，kx₁），N（x₂，-kx₂），T（x，y），x₁＞0，x₂＞0，k＞0，
设直线OA的倾斜角为α，则$k=tanα，sin2α=\frac{2k}{{1+{k^2}}}$，
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}\\ y=\frac{{k（{{x_1}-{x_2}}）}}{2}\\|{OM}|={x_1}\sqrt{1+{k^2}}\\|{ON}|={x_2}\sqrt{1+{k^2}}\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}=x+\frac{y}{k}\\{x_2}=x-\frac{y}{k}\end{array}\right.$，
代入${S_{△MON}}=\frac{1}{2}|{OM}||{ON}|sin2α=\frac{1}{k}$
化简得动点T轨迹方程为${k^2}{x^2}-{y^2}=1（{x≥\frac{1}{k}}）$．
∴$|{OT}|=\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{{x^2}+{k^2}{x^2}-1}=\sqrt{（{1+{k^2}}）{x^2}-1}≥\sqrt{（{1+{k^2}}）\frac{1}{k^2}-1}=\frac{1}{k}$，
当且仅当$x=\frac{1}{k}，T（{\frac{1}{k}，0}）$时，|OT|取得最小值$\frac{1}{k}$．
∴|OT|的取值范围是$[{\frac{1}{k}，+∞}）$．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．