Question

10．如图，在平面直角坐标系x Oy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，左顶点 A与上顶点 B的距离为$\sqrt{6}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过原点 O的动直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于 P、Q两点，直线 P A、Q A分别与y轴交于 M、N两点，问以 M N为直径的圆是否经过定点？请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用离心率，勾股定理以及椭圆的几何量的关系，列出方程组求解，即可得到椭圆C的标准方程．、
（2）以MN为直径的圆过定点$F（±\sqrt{2}，0）$．
设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），P代入椭圆方程，求出直线PA方程，推出$M（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$；求出直线QA方程，推出$N（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$；写出以MN为直径的圆的方程，然后化简求出以MN为直径的圆过定点．

解答 （本小题满分14分）
解：（1）由题意得 $\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}\\{a^2}+{b^2}=6\\{a^2}-{b^2}={c^2}\end{array}\right.$
解得$a=2，b=\sqrt{2}$
∴椭圆C的标准方程为：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．
（2）以MN为直径的圆过定点$F（±\sqrt{2}，0）$．
设P（x₀，y₀），则Q（-x₀，-y₀），且$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{2}=1$，即$x_0^2+2y_0^2=4$，
∵A（-2，0），∴直线PA方程为：$y=\frac{y_0}{{{x_0}+2}}（x+2）$，∴$M（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）$；
∴直线QA方程为：$y=\frac{y_0}{{{x_0}-2}}（x+2）$，∴$N（0，\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）$；
以MN为直径的圆为：$（x-0）（x-0）+（y-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}+2}}）（y-\frac{{2{y_0}}}{{{x_0}-2}}）=0$，
即${x^2}+{y^2}-\frac{{4{x_0}{y_0}}}{{{x_0}^2-4}}y+\frac{{4{y_0}^2}}{{{x_0}^2-4}}=0$，
∵$x_0^2-4=-2y_0^2$，∴${x^2}+{y^2}+\frac{{2{x_0}}}{y_0}y-2=0$，
令y=0，得x²-2=0，解得：$x=±\sqrt{2}$，
∴以MN为直径的圆过定点：$F（±\sqrt{2}，0）$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，椭圆的综合应用，直线与圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力．