Question

19．如图所示，曲线C由上半圆C₁：x²+y²=1（y≥0）和部分抛物线C₂：y=x²-1（y≥0）连接而成，A，B为C₁与C₂的公共点（B在原点右侧），过C₁上的点D（异于点A，B）的切线l与C₂分别相交于M，N两点．
（1）若切线l与抛物绩y=x²-1在点D处的切线平行，求点D的坐标．
（2）若点D（x₀，y₀）勾动点时，求证∠MON恒为钝角．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用切线l与抛物线y=x²-1在点D处的切线平行，结合a²+b²=1，可得点D的坐标；
（2）利用韦达定理，证明x₁x₂+y₁y₂＜0即可．

解答 （1）解：设点D的坐标（a，b），由已知B（1，0），
又y'=2x，所以切线l的斜率k=2，
故$\frac{b}{a}=-\frac{1}{2}$，且a²+b²=1，解得$a=-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，b=\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，
于是点D的坐标为$（-\frac{{2\sqrt{5}}}{5}，\frac{{\sqrt{5}}}{5}）$． …（4分）
（2）证明：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）由点D（x₀，y₀）知切线l方程为x₀x+y₀y=1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x_0}x+{y_0}y=1\\ y={x^2}-1\end{array}\right.$$⇒{y_0}{x^2}+{x_0}x-{y_0}-1=0$，
显然△＞0，有${x_1}+{x_2}=-\frac{x_0}{y_0}，{x_1}{x_2}=-1-\frac{1}{y_0}$，
所以x₁x₂+y₁y₂=${x_1}{x_2}+（x_1^2-1）（x_2^2-1）$=${x_1}{x_2}+x_1^2x_2^2-（x_1^2+x_2^2）+1$=${x_1}{x_2}+{（{x_1}{x_2}）^2}-[{（{x_1}+{x_2}）^2}-2{x_1}{x_2}]+1$
=-1-$\frac{1}{{y}_{0}}$+$（1+\frac{1}{{y}_{0}}）^{2}$-$（\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{{y}_{0}}^{2}}+2+\frac{2}{{y}_{0}}）$+1=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$＜0，由此可知$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}＜0$，从而∠MON为钝角．  …（12分）

点评 本题考查导数的几何意义，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．