Question

11．已知$\overrightarrow m=（1，2），\overrightarrow n=（cos2x，{cos^2}\frac{x}{2}）$，且$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n$．
（Ⅰ）在△ABC中，若f（A）=1，求A的大小；
（Ⅱ）若$g（x）=f（x）-2{cos^2}x+\sqrt{3}sinx$，将g（x）图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到h（x）的图象，求h（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）进行数量积的运算，并用上余弦的二倍角公式即可得到f（x）=2cos²x+cosx，从而解f（A）=1得到cosA=$\frac{1}{2}$，或-1，而0＜A＜π，从而得出A=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）利用两角和的正弦公式可求出g（x）=2sin（x+$\frac{π}{6}$），而根据三角变换中的伸缩变换即可求出h（x）$2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$，根据正弦函数的减区间即可求得该函数的减区间．

解答 解：（Ⅰ）由题意$f（x）=\overrightarrow m•\overrightarrow n=cos2x+2{cos^2}\frac{x}{2}=2{cos^2}x+cosx$；
∴f（A）=2cos²A+cosA=1；
∴$cosA=\frac{1}{2}或cosA=-1$；
∵0＜A＜π；
∴$A=\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）∵$g（x）=f（x）-2{cos^2}x+\sqrt{3}sinx=\sqrt{3}sinx+cosx=2sin（x+\frac{π}{6}）$；
由题意$h（x）=2sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$；
由$2kπ+\frac{π}{2}≤\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，k∈Z；
得$4kπ+\frac{2π}{3}≤x≤4kπ+\frac{8π}{3}$，k∈Z；
∴h（x）的单调减区间$[4kπ+\frac{2π}{3}，4kπ+\frac{8π}{3}]$，k∈Z．

点评 考查向量数量积的坐标运算，二倍角的余弦公式，在求A时注意三角形内角的范围，两角和的正弦公式，以及正弦函数的单调减区间，熟练掌握三角变换．