Question

3．已知在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=2，CD=1，P为线段BC上一个动点，设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}$，则当$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$取得最小值时λ的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{4}{5}$
• C． 0
• D． 1

Answer 1

分析 由余弦定理可得4=AP²+DP²-2AP•DPcos∠APD=AP²+DP²-2$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$，即$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$=$\frac{A{P}^{2}+D{P}^{2}-4}{2}$，利用基本不等式可得当$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$最小时，点P是AD的中垂线和BC的交点，即可得出结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$=PD•PA cos∠APD，
△PDA中，由余弦定理可得
4=AP²+DP²-2AP•DPcos∠APD=AP²+DP²-2$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$，
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$=$\frac{A{P}^{2}+D{P}^{2}-4}{2}$≥$\frac{2AP•DP-4}{2}$，当且仅当AP=DP时，等号成立．
故当$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PD}$最小时，点P是AD的中垂线和BC的交点，
∵$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BC}$，
∴λ=$\frac{1}{2}$
故选：A．

点评 本题考查余弦定理，基本不等式，考查学生分析解决问题的能力，正确运用余弦定理是解题的关键，属于中档题．