Question

12．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-（2k+1）{x^2}$+3k（k+2）x+1，其中k为实数．
（1）当k=-1时，求函数f（x）在[0，6]上的最大值和最小值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）的导函数f'（x）在（0，6）上有唯一的零点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把k=-1代入可得函数解析式，求导数可判单调性，求端点值和极值比较可得最值；
（2）可得f′（x）=（x-3k）[x-（k+2）]，k=1时f′（x）≥0，函数f（x）的单调递增，当k＞1和k＜1时，解不等式可得相应的单调区间；
（3）由f′（x）=（x-3k）[x-（k+2）]=0得x₁=k+2，x₂=3k，分类讨论①当x₁=x₂时，②当x₁＞x₂时，③当x₁＜x₂时，分别可得k的不等式，综合可得．

解答 解：（1）当k=-1时，$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}-3x+1$，
求导函数可得f′（x）=x²+2x-3=（x-1）（x+3），
令f′（x）=0，∵x∈[0，6]可得得x=1，
∴f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，6]上单调递增，
∵$f（0）=1，f（1）=-\frac{2}{3}，f（6）=97$，
∴f（x）在[0，6]上的最大值为97，最小值为$-\frac{2}{3}$；
（2）∵f′（x）=x²-2（2k+1）x+3k（k+2）=（x-3k）[x-（k+2）]，
当k=1时，f′（x）=（x-3）²≥0，∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，+∞）；
当k＞1时，3k＞k+2，由f′（x）＞0解得x＞3k或x＜k+2，由f′（x）＜0得k+2＜x＜3k，
∴函数f（x）的单调递增区间为（3k，+∞）和（-∞，k+2），递减区间为（k+2，3k）；
当k＜1时，3k＜k+2，由f′（x）＞0解得x＞k+2或x＜3k，由f′（x）＜0得3k＜x＜k+2，
∴函数f（x）的单调递增区间为（3k，+∞）和（-∞，k+2）；递减区间为（3k，k+2）．
（3）由f′（x）=（x-3k）[x-（k+2）]=0得x₁=k+2，x₂=3k，
①当x₁=x₂时，有k+2=3k，解得k=1，此时x₁=x₂=3∈（0，6），
函数f′（x）在（0，6）上有唯一的零点，∴k=1为所求；
②当x₁＞x₂时，有k+2＞3k，解得k＜1，此时x₂＜x₁＜3，
∵函数f′（x）在（0，6）上有唯一的零点，
∴x₂≤0＜x₁＜3，即3k≤0＜k+2＜3，解得-2＜k≤0；
③当x₁＜x₂时，有k+2＜3k，解得k＞1，此时x₂＞x₁＞3，
∵函数f′（x）在（0，6）上有唯一的零点，
∴3＜x₁＜6≤x₂，即3＜k+2＜6≤3k，解得2≤k＜4，
综上得实数k的取值范围为：-2＜k≤0或k=1或2≤k＜4．

点评 本题考查利用导数求闭区间的最值，涉及函数的单调性和分类讨论的思想，属难题．