Question

16．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AA₁=BC=AB=2，AB⊥BC．
（1）求四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积；
（2）求二面角B₁-A₁C-C₁的大小．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥BCC₁B₁，说明A₁B₁是四棱锥A₁-BCC₁B₁的高，然后求解四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积．
（2）建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出$\overrightarrow{BM}$=（1，1，0）是平面A₁C₁C的一个法向量．平面A₁B₁C的一个法向量利用向量的数量积求解二面角B₁-A₁C-C₁的大小．

解答 （本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题（4分），第（2）小题（8分）．
解：（1）因为AB⊥BC，三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以AB⊥BCC₁B₁，从而A₁B₁是四棱锥A₁-BCC₁B₁的高．…（2分）
四棱锥A₁-BCC₁B₁的体积为V=$\frac{1}{3}$×2×2×2=$\frac{8}{3}$…（4分）
（2）如图（图略），建立空间直角坐标系．
则A（2，0，0），C（0，2，0），A₁（2，0，2），
B₁（0，0，2），C₁（0，2，2），…（6分）
设AC的中点为M，∵BM⊥AC，NM⊥CC₁，
∴BM⊥平面A₁C₁C，
即$\overrightarrow{BM}$=（1，1，0）是平面A₁C₁C的一个法向量．
设平面A₁B₁C的一个法向量是$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=（-2，0，0）…（8分）
∴$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{B}_{1}}$=-2x=0，$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y-2z=0$，
令z=1，解得x=0，y=1.$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），…（9分）
设法向量$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{BM}$的夹角为β，二面角B₁-A₁C-C₁的大小为θ，显然θ为锐角．
∵cosθ=|cosβ|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BM}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|\left|\overrightarrow{BM}\right|}=\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
二面角B₁-A₁C-C₁的大小为$\frac{π}{3}$…（12分）

点评 本题考查二面角的平面角的求法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．