Question

1．已知曲线C：x²-xy+y²=3，矩阵$M=（{\begin{array}{l}{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}&{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\\{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}&{\frac{{\sqrt{2}}}{2}}\end{array}}）$，且曲线C在矩阵M对应的变换的作用下得到曲线C′．
（Ⅰ）求曲线C′的方程；
（Ⅱ）求曲线C的离心率以及焦点坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用变换的定义直接计算即可；
（Ⅱ）通过（I）可知曲线C′的离心率及焦点坐标，利用逆矩阵可得结论．

解答 解：（Ⅰ）设曲线C′上的任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下变为点P′（x′，y′），
则有$（\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{-\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}）$，即$\left\{\begin{array}{l}{x′=\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y}\\{y′=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y}\end{array}\right.$，
所以$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}x′-\frac{\sqrt{2}}{2}y′}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x′+\frac{\sqrt{2}}{2}y′}\end{array}\right.$，
将上式代入曲线C的方程，整理得$\frac{x{′}^{2}}{6}+\frac{y{′}^{2}}{2}=1$，
∴曲线C′的方程为$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）由（I）可知曲线C′的离心率$e=\frac{\sqrt{6}}{3}$，焦点坐标为F₁′（-2，0），F₂′（2，0），
∵M=$（\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{-\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}）$对应的变换是顺时针旋转$\frac{π}{4}$的旋转变换，
∴M^-1=$（\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}）$对应的变换是逆时针旋转$\frac{π}{4}$的旋转变换，
∴曲线C的离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$，且曲线C的焦点是曲线C′的焦点经过逆时针旋转$\frac{π}{4}$得到．
∵$（\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{-2}\\{0}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{-\sqrt{2}}\\{-\sqrt{2}}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{\frac{\sqrt{2}}{2}}&{\frac{\sqrt{2}}{2}}\end{array}）$$（\begin{array}{l}{2}\\{0}\end{array}）$=$（\begin{array}{l}{\sqrt{2}}\\{\sqrt{2}}\end{array}）$，
∴曲线C的焦点为（$-\sqrt{2}$，$-\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$）．

点评 本题考查矩阵与变换、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．