Question

13．已知点B（4，0）、C（2，2），平面直角坐标系上的动点P满足$\overrightarrow{OP}=λ•\overrightarrow{OB}+μ•\overrightarrow{OC}$（其中O是坐标原点，且1＜λ≤a，1＜μ≤b），若动点P组成的区域的面积为8，则a+b的最小值是4．

Answer 1

分析 先作向量$a•\overrightarrow{OB}，b•\overrightarrow{OC}$，结合图形，根据λ，μ的范围找到动点P所在的区域：平行四边形FGHI，由向量$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$求出sin∠BOC，求平行四边形FGHI，从而可得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，从而a+b=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$，根据基本不等式即可求得a+b的最小值．

解答 解：如图，在x轴上取点D，使|OD|=a|OB|，延长OC到E，使|OE|=b|OC|；
作CH∥OD，BF∥OE，EG∥OD，DG∥OE，则：
动点P组成的区域为平行四边形FGHI及其内部；
∵$\overrightarrow{OB}=（4，0），\overrightarrow{OC}=（2，2）$；
∴$cos∠BOC=\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{8}{8\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$sin∠BOC=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴${S}_{四边形FGHI}=（a-1）•4•（b-1）•2\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}=8$；
∴（a-1）•（b-1）=1；
∴ab-a-b=0；
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$；
∴$a+b=（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）=2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥4$，当a=b=2时取“=”；
∴a+b的最小值为4．
故答案为：4．

点评 考查数乘的几何意义，平面向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，向量夹角余弦公式的坐标运算，数量积的坐标运算，平行四边形的面积公式，以及基本不等式用于求最值．