Question

2．某工厂生产A，B两种产品，其质量按测试指标划分，指标大于或等于88为合格品，小于88为次品．现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如下：

测试指杯	[80，84）	[84，88）	[88，92）	[92.96）	[96，100】
产品A	6	14	42	31	7
产品B	8	17	40	30	5

（Ⅰ）试分析估计产品A，B为合格品的概率；
（Ⅱ）生产1件产品A，若是合格品则盈利45元．若是次品则亏损10元；生产1件产品B，若是合格品则盈利60元．若是次品则亏损15元；在（Ⅰ）的前提下，（i）X为生产1件产品A和1件产品B所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（ii）求生产5件产品B所得利润不少于150元的概率．

Answer 1

分析 （I）求解运用古典概率得出P（A），P（B），
II）（i）确定随机变量X的所有可能取值为-25，30，50，105．
求解P（X=-25），P（X=30），P（X=50），P（X=105），求解分布列，
（ii）设生产的5个产品B中，正品为3，4，5件时，运用二项分布问题求解，
可得出P（M）=${C}_{5}^{3}$×（$\frac{3}{4}$）³×（$\frac{1}{4}$）²+${C}_{5}^{4}$×（$\frac{3}{4}$）⁴×（$\frac{1}{4}$）+${C}_{5}^{5}$×（$\frac{3}{4}$）⁵．

解答 解：（Ⅰ）由题意得知，产品A为正品的概率约为$\frac{42+31+7}{100}$=$\frac{4}{5}$．
产品B为正品的概率约为$\frac{40+30+5}{100}$=$\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为-25，30，50，105．
P（X=-25）=（1-$\frac{4}{5}$）（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{20}$，
P（X=30）=（$\frac{4}{5}$）（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{5}$，
P（X=50）=（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=105）=（$\frac{4}{5}$）×（$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
所以分布列为：

X	-25	30	50	105
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{5}$

所以E（X）=（-25）×$\frac{1}{20}$$+30×\frac{1}{5}$$+50×\frac{3}{20}$$+105×\frac{3}{5}$=75.25，
（ii）设生产的5个产品B中，正品为3，4，5件时，所得利润不少于150元，即“生产的5个产品B所得利润不少于150元”为事件M．
则P（M）=${C}_{5}^{3}$×（$\frac{3}{4}$）³×（$\frac{1}{4}$）²+${C}_{5}^{4}$×（$\frac{3}{4}$）⁴×（$\frac{1}{4}$）+${C}_{5}^{5}$×（$\frac{3}{4}$）⁵=$\frac{459}{512}$．

点评 本题考查了离散型的概率分布问题，确定随机变量的取值，关键是确定事件得出相应的概率，分清题意．