Question

14．如图，在三角形ABC中，D，E为边AB的三等分点，已知$\overrightarrow{CA}=3\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{b}$，求$\overrightarrow{CD}$和$\overrightarrow{CE}$．

Answer 1

分析 本题中的已知向量都集中体现在三角形中．为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解．

解答 解：由题意$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{CB}$=-3$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$，
因D、E为$\overrightarrow{AB}$的两个三等分点，
故$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{DE}$，
所以$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$=3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$=2$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$，
$\overrightarrow{CE}$=$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DE}$=2$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{a}$+$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{b}$．

点评 三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量．值得注意的是，向量的方向不能搞错．当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行．