Question

19．已知cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{4}{5}$，x∈（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$），求$\frac{sin2x-2si{n}^{2}x}{1+tanx}$的值．

Answer 1

分析 利用已知条件求出x的正弦函数以及余弦函数值，化简所求表达式求解即可．

解答 解：∵x∈（-$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{4}$），cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{4}{5}$，可得：$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx=$\frac{4}{5}$，①，
cosx-sinx=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
又x+$\frac{π}{4}$∈（-$\frac{π}{4}$，0），得sin（x+$\frac{π}{4}$）=-$\frac{3}{5}$，
即 $\frac{\sqrt{2}}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinx=$-\frac{3}{5}$，②．
由①、②解得 sinx=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$，
cosx=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
cosx+sinx=$-\frac{3\sqrt{2}}{5}$．两边平方化简可得sin2x=$-\frac{7}{25}$．
$\frac{sin2x-2si{n}^{2}x}{1+tanx}$=$\frac{2sinxcosx-2si{n}^{2}x}{\frac{sinx+cosx}{cosx}}$=$\frac{-\frac{7}{25}×\frac{4\sqrt{2}}{5}}{-\frac{3\sqrt{2}}{5}}$=$\frac{28}{75}$．

点评 本题考查同角三角函数基本关系的运用，考查学生的计算能力，是中档题．