Question

9．设a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx，则二项式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式的常数项是-160．

Answer 1

分析 求定积分求得a的值，然后写出二项展开式的通项，由x得指数为0求得r值，代入通项求得常数项．

解答 解：a=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx=$（-cosx+sinx）{|}_{0}^{π}=-cosπ+sinπ+cos0-sin0$=2．
∴（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶=$（2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{6}$．
其通项${T}_{r+1}={C}_{6}^{r}•（2\sqrt{x}）^{6-r}•（-\frac{1}{\sqrt{x}}）^{r}$=$（-1）^{r}•{C}_{6}^{r}•{2}^{6-r}•{x}^{3-r}$=$（-1）^{r}•{C}_{6}^{r}•{2}^{6-r}•{x}^{3-r}$．
由3-r=0，得r=3．
∴二项式（a$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式的常数项是${T}_{4}=-{2}^{3}•{C}_{6}^{3}=-160$．
故答案为：-160．

点评 本题考查了定积分，考查了二项式定理，关键是熟练掌握二项展开式的通项，是基础题．