Question

17．小明参加某项资格测试，现有10道题，其中6道客观题，4道主观题，小明需从10道题中任取3道题作答
（1）求小明至少取到1道主观题的概率
（2）若取的3道题中有2道客观题，1道主观题，设小明答对每道客观题的概率都是$\frac{3}{5}$，答对每道主观题的概率都是$\frac{4}{5}$，且各题答对与否相互独立，设X表示小明答对题的个数，求x的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （1）确定事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”则有$\overline{A}$=“小明所取的3道题都是客观题”利用对立事件求解即可．
（2）根据题意X的所有可能的取值为0，1，2，3．分别求解相应的概率，求出分布列，运用数学期望公式求解即可．

解答 解：（1）设事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”
则有$\overline{A}$=“小明所取的3道题都是客观题”
因为P（$\overline{A}$）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$
P（A）=1-P（$\overline{A}$）=$\frac{5}{6}$．
（2）X的所有可能的取值为0，1，2，3．
P（X=0）=（$\frac{2}{5}$）²$•\frac{1}{5}$=$\frac{4}{125}$．
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$•（$\frac{3}{5}$）¹•（$\frac{2}{5}$）¹+（$\frac{2}{5}$）²$•\frac{4}{5}$=$\frac{28}{125}$．
P（X=2）=（$\frac{3}{5}$）²$•\frac{1}{5}$+${C}_{2}^{1}$•（$\frac{3}{5}$）¹•（$\frac{2}{5}$）¹$•\frac{4}{5}$=$\frac{57}{125}$，
P（X=3）=（$\frac{3}{5}$）²$•\frac{4}{5}$=$\frac{36}{125}$
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
P	$\frac{4}{125}$	$\frac{28}{125}$	$\frac{57}{125}$	$\frac{36}{125}$

∴E（X）=0×$\frac{4}{125}$$+1×\frac{28}{125}$$+2×\frac{57}{125}$$+3×\frac{36}{125}$=2．

点评 本题综合考查了离散型的概率分布问题，数学期望，需要直线阅读题意，准确求解概率，计算能力要求较高，属于中档题．