Question

2．已知椭圆C的焦点是F₁（0，-$\sqrt{3}$），F₂（0，$\sqrt{3}$），点P在椭圆C上且满足|PF₁|+|PF₂|=4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）若A为椭圆C的下顶点，过点A的两条互相垂直的直线分别交椭圆C于点P，Q（P，Q与A不重合），试证明直线PQ经过定点．

Answer 1

分析 （I）根据椭圆的定义得出，结合a，b，c的关系判断即可．
（II）设l₁：y=kx-2，l₂：y=$-\frac{1}{k}$-2，运用方程组得出P（$\frac{4k}{4+{k}^{2}}$，$\frac{2{k}^{2}-8}{4+{k}^{2}}$），把-$\frac{1}{k}$代入k得出Q（$\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{2-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$），运用特殊位置，猜想定点M（0，-$\frac{6}{5}$），
再运用斜率公式证明三点共线即可．

解答 解：（I）∵椭圆C的焦点是F₁（0，-$\sqrt{3}$），F₂（0，$\sqrt{3}$），点P在椭圆C上且满足|PF₁|+|PF₂|=4，
∴2a=4，a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{2}^{2}-3}=1$，
$\frac{{x}^{2}}{1}$$+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
（Ⅱ）∵A为椭圆C的下顶点，
∴A（0，-2），
设l₁：y=kx-2，l₂：y=$-\frac{1}{k}$-2，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{k}x-2}\\{{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$
即（4+k²）x²-4kx=0，
x=$\frac{4k}{4+{k}^{2}}$，y=$\frac{2{k}^{2}-8}{4+{k}^{2}}$，
P（$\frac{4k}{4+{k}^{2}}$，$\frac{2{k}^{2}-8}{4+{k}^{2}}$），
把-$\frac{1}{k}$代入k得出Q（$\frac{-4k}{4{k}^{2}+1}$，$\frac{2-8{k}^{2}}{4{k}^{2}+1}$）
当k=1时P（$\frac{4}{5}$，-$\frac{6}{5}$），Q（-$\frac{4}{5}$，$-\frac{6}{5}$），
猜想定点为M（0，-$\frac{6}{5}$），
∴K_PM=$\frac{4{k}^{2}-4}{5k}$，K_QM=$\frac{4{k}^{2}-4}{5k}$，
即K_PM，=K_QM=$\frac{4{k}^{2}-4}{5k}$，
所以P，Q，M三点共线，
直线PQ经过定点M（0.$-\frac{6}{5}$）．

点评 本题考查了直线与椭圆方程的运用，直线与椭圆的位置关系，计算量大，化简仔细，运用特殊位置得出定点，再论证，难度较大．