Question

11．已知非零向量序列：$\overrightarrow{a_1}，\overrightarrow{a_2}，\overrightarrow{a_3}，…，\overrightarrow{a_n}$满足如下条件：|$\overrightarrow{{a}_{1}}$|=2，$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{d}$=-$\frac{1}{2}$，且$\overrightarrow{a_n}-\overrightarrow{{a_{n-1}}}$=$\overrightarrow d$（n=2，3，4，…，n∈N^*），S_n=$\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_2}+\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_3}+…+\overrightarrow{a_1}•\overrightarrow{a_n}$，当S_n最大时，n=8或9．

Answer 1

分析 由已知条件采用累加法求得$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrow{d}$，求出$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$的通项公式，利用等差数列的性质进行求解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{a_n}-\overrightarrow{{a_{n-1}}}$=$\overrightarrow d$，
∴向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$为首项为$\overrightarrow{{a}_{1}}$，公差为$\overrightarrow{d}$的等差数列，
则$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrow{d}$，
则$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\overrightarrow{{a}_{1}}$•[$\overrightarrow{{a}_{1}}$+（n-1）$\overrightarrow{d}$]=$\overrightarrow{{a}_{1}}$²+（n-1）$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{d}$=4$-\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{9-n}{2}$，
由$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{n}}$=$\frac{9-n}{2}$≥0，
解得n≤9，
即当n=9时，$\overrightarrow{{a}_{1}}$•$\overrightarrow{{a}_{9}}$=0，
则当n=8或9时，S_n最大，
故答案为：8或9．

点评 本题考查了数列递推式，训练了累加法去数列的通项公式，是中档题