Question

3．如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D，且AD=2BD，E为AD的中点，连接CE并延长交圆O于F，若CD=$\sqrt{2}$，则EF=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 AB是圆O的直径，可得∠ACB=90°．利用射影定理可得CD²=AD•DB．已知AD=2DB，得DB=1，已知E为AD的中点，可得ED=1．在Rt△CDE中，利用勾股定理可得CE．利用△ACE∽△FBE可得：EA•EB=EC•EF，即可求得EF．

解答 解：在Rt△ABC中，CD⊥AB于D，∴CD²=AD•BD=2BD²=2，
∴DB=1，
∵E为AD的中点，
∴AE=ED=1，
∴$CE=BC=\sqrt{B{D^2}+C{D^2}}=\sqrt{3}$，
又△ACE∽△FBE，∴$\frac{AE}{EF}=\frac{CE}{BE}⇒EF=\frac{AE×BE}{CE}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

点评 熟练掌握圆的性质、射影定理、勾股定理、相交弦定理是解题的关键．