Question

14．设$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是平面内两个不共线的向量，$\overrightarrow{AB}=（a-1）\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$，$\overrightarrow{AC}=b\overrightarrow{e_1}-2\overrightarrow{e_2}$，a＞0，b＞0．若A，B，C三点共线，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值是4．

Answer 1

分析 根据三点关系，建立条件关系，求出a，b的关系式，利用1的代换，结合基本不等式的应用进行求解即可．

解答 解：∵a＞0，b＞0．若A，B，C三点共线，
∴设$\overrightarrow{AB}$=x$\overrightarrow{AC}$，
即（a-1）$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$=x（b$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
∵$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$是平面内两个不共线的向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-1=xb}\\{1=-2x}\end{array}\right.$，解得x=-$\frac{1}{2}$，a-1=-$\frac{1}{2}$b，
即a+$\frac{1}{2}$b=1，
则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$）（a+$\frac{1}{2}$b）=1+1+$\frac{b}{2a}$+$\frac{2a}{b}$≥2$+2\sqrt{\frac{b}{2a}•\frac{2a}{2b}}$=2+2=4，
当且仅当$\frac{b}{2a}$=$\frac{2a}{b}$，即b=2a，即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{4}$时，取等号，
故最小值为4，
故答案为：4；

点评 本题主要考查基本不等式的应用，根据向量关系求出a，b的关系，以及利用基本不等式是解决本题的关键．