Question

19．在极坐标系中，已知点P（2，$\frac{π}{3}$），Q为曲线ρ=cosθ上任意一点，则|PQ|的最小值为$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．

Answer 1

分析 首先把点的极坐标转化为直角坐标，进一步把极坐标方程转化为直角坐标方程，进一步利用两点间的距离公式求出最小值．

解答 解：点P（2，$\frac{π}{3}$），转化为直角坐标为：（1，$\sqrt{3}$），
曲线ρ=cosθ，转化为：ρ²=ρcosθ，
转化为直角坐标方程为：x²+y²=x，
进一步转化为标准形式：$（{x-\frac{1}{2}）}^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{4}$
所以：圆心点P（1，$\sqrt{3}$）的距离为：d=$\sqrt{\frac{1}{4}+3}=\frac{\sqrt{13}}{2}$，
所以：|PQ|的最小值为：$\frac{\sqrt{13}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{13}-1}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}-1}{2}$

点评 本题考查的知识要点：点的极坐标和直角坐标的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，两点间的距离公式的应用和最小值的应用．主要考查学生的应用能力．