Question

7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，M、N分别是$\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{BC}$的中点，且$\frac{DC}{AB}$=k，设$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{{e}_{2}}$，以$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$为基底表示向量$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{MN}$．

Answer 1

分析 根据向量的共线关系以及平面向量的基本定理进行分解即可．

解答 解：∵$\frac{DC}{AB}$=k，
∴$\overrightarrow{DC}$=k$\overrightarrow{AB}$=k$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$$+\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=-$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}$=$-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+（k-1）$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∵$\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{NB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}，\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{MN}=-\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{NB}$=$-\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$=$\frac{1+k}{2}\overrightarrow{{e}_{2}}$

点评 本题主要考查平面向量的基本定理的应用，根据向量共线以及向量加法的运算法则是解决本题的关键．