Question

17．直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于D、E两点，且满足$\overrightarrow{EA}$=λ₁$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{EB}$=λ₂$\overrightarrow{BD}$．已知直线l：x=my+1（m＞1），椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，求$\frac{1}{{λ}_{1}}$+$\frac{1}{{λ}_{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 联立方程组，利用消元法结合根与系数之间的关系，推出λ₁+λ₂=-4，即可得到结论．

解答 解：联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$：得（m²+2）y²+2my-1=0，
得y₁+y₂=-$\frac{2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$，
又点D（1，0），E（0，-$\frac{1}{m}$），
由$\overrightarrow{EA}$=λ₁$\overrightarrow{AD}$ 得到y₁+$\frac{1}{m}$=-λ₁y₁，λ₁=-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{1}}$），
同理由$\overrightarrow{EB}$=λ₂$\overrightarrow{BD}$得到y₂+$\frac{1}{m}$=-λ₂y，λ₂=-（1+$\frac{1}{m}•\frac{1}{{y}_{2}}$），
λ₁+λ₂=-（2+$\frac{1}{m}$$•\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$）=-（2+$\frac{1}{m}$•2m）=-4，
即λ₁+λ₂=-4，
$\frac{1}{{λ}_{1}}$+$\frac{1}{{λ}_{2}}$=$-\frac{4}{{λ}_{1}{λ}_{2}}$=$\frac{4}{{{λ}_{1}}^{2}+4{λ}_{1}}$=$\frac{4}{（{λ}_{1}+2）^{2}-4}$，
因为m＞1，
所以点A在椭圆上位于第三象限的部分上运动，由分点的性质可知
${λ}_{1}∈（\sqrt{2}-2，0）$，
所以$\frac{1}{{λ}_{1}}$+$\frac{1}{{λ}_{2}}$∈（-∞，-2）．

点评 本题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系的应用，利用消元法转化为一元二次方程，根据根与系数之间的关系是解决本题的关键．