Question

15．如图，设A，B分比为椭圆E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点，P是椭圆E上不同于A，B的一动点，点F是椭圆E的右焦点，直线l是椭圆E的右准线，若直线AP与直线：x=a和l分别相较于C，Q两点，FQ与直线BC交于M．
（1）求BM：MC的值；
（2）若椭圆E的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，直线PM方程为x+2$\sqrt{3}$y-8=0，求椭圆E的方程．

Answer 1

分析 （1）椭圆E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的准线l的方程为：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$．设直线AP的斜率为k（k≠0），可得直线AP的方程为：y=k（x+a），可得C，Q的坐标．于是k_FQ=$\frac{ka}{a-c}$，
可得直线FQ的方程为：$y=\frac{ka}{a-c}（x-c）$，可得M，即可得出$\frac{BM}{MC}$=1．
（2）由$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆的方程化为：x²+4y²=a²．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+a）}\\{x+2\sqrt{3}y-8=0}\\{a+2\sqrt{3}ka-8=0}\end{array}\right.$，解得x，y（用a表示），代入椭圆方程即可得出．

解答 解：（1）椭圆E$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的准线l的方程为：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$．
设直线AP的斜率为k（k≠0），可得直线AP的方程为：y=k（x+a），∴C（a，2ka），Q$（\frac{{a}^{2}}{c}，\frac{k（{a}^{2}+ac）}{c}）$．
∴k_FQ=$\frac{\frac{k（{a}^{2}+ac）}{c}-0}{\frac{{a}^{2}}{c}-c}$=$\frac{ka}{a-c}$，
可得直线FQ的方程为：$y=\frac{ka}{a-c}（x-c）$，∴M（a，ka）．
∴$\frac{BM}{MC}$=$\frac{ka}{2ka-ka}$=1．
（2）∵$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴${a}^{2}=\frac{4}{3}{c}^{2}={c}^{2}+{b}^{2}$，∴b²=$\frac{1}{4}{a}^{2}$．
∴椭圆的方程化为：x²+4y²=a²．（*）
把点M代入直线PM的方程为：a+2$\sqrt{3}$ka-8=0．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+a）}\\{x+2\sqrt{3}y-8=0}\\{a+2\sqrt{3}ka-8=0}\end{array}\right.$，解得x=$\frac{{a}^{2}}{8}$，y=$\frac{64-{a}^{2}}{16\sqrt{3}}$．
代入（*）可得：$（\frac{{a}^{2}}{8}）^{2}$+$4×（\frac{64-{a}^{2}}{16\sqrt{3}}）^{2}$=a²．
解得a²=64或16．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=64}\\{{b}^{2}=16}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=16}\\{{b}^{2}=4}\end{array}\right.$．
∴椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{64}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$，或$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与直线相交问题、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．