Question

3．在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，过椭圆C的右焦点F作两条互相垂直的弦EF与MN，当直线EF斜率为0时，|EF|+|MN|=7．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求|EF|+|MN|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，MN=7-2a，再由点（c，$\frac{7-4c}{2}$）在椭圆上，能求出椭圆的方程．
（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在时，|EF|+|MN|=7；当两弦斜率均存在且不为0时，设直线EF的方程为y=k（x-1），直线MN的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-1）．由此能求出|EF|+|MN|，从而能求出其取值范围．

解答 解：（1）由题意知，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，|MN|=7-2a，
所以a²=4c²，b²=3c²，…2分
因为点（c，$\frac{7-4c}{2}$）在椭圆上，
即$\frac{{c}^{2}}{{4c}^{2}}$+$\frac{{（\frac{7-4c}{2}）}^{2}}{{3c}^{2}}$=1，解得：c=1．
所以椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
由题意知|EF|+|MN|=7，
②当两弦斜率均存在且不为0时，
设直线EF的方程为y=k（x-1），
则直线MN的方程为：y=-$\frac{1}{k}$（x-1），
将直线EF的方程代入椭圆方程中，
并整理得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x₁=$\frac{{4k}^{2}-6\sqrt{{k}^{2}+1}}{3+{4k}^{2}}$，x₂=$\frac{{4k}^{2}+6\sqrt{{k}^{2}+1}}{3+{4k}^{2}}$，
∴|EF|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{12{（k}^{2}+1）}{3+{4k}^{2}}$，同理，|MN|=$\frac{12{（k}^{2}+1）}{{3k}^{2}+4}$，
∴|EF|+|MN|=$\frac{8{4{（k}^{2}+1）}^{2}}{（3+{4k}^{2}）（{3k}^{2}+4）}$，
令t=k²+1，则t＞1，3+4k²=4t-1，3k²+4=3t+1，
设f（t）=$\frac{（4t-1）（3t+1）}{{t}^{2}}$=-${（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{49}{4}$，
∵t＞1，∴$\frac{1}{t}$∈（0，1），
∴f（t）∈（12，$\frac{49}{4}$），
∴|EF|+|MN|=$\frac{84}{f（t）}$∈[$\frac{48}{7}$，7]．
综合①与②可知，AB+CD的取值范围是[$\frac{48}{7}$，7]．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，考查两条线段和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．