Question

19．如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长均相等，E是BC的中点，点F在侧棱CC₁上，且CC₁=4CF
（Ⅰ）求证：EF⊥A₁C；
（Ⅱ）求二面角C-AF-E的余弦值．

Answer 1

分析 （I）以点A为原点，AC为y轴、AA₁为z轴建立空间直角坐标系A-xyz，这直线垂直可转化为向量垂直，计算即可；
（II）所求值即为平面AEF的一个法向量与平面AC₁的一个法向量的夹角的余弦值，计算即可．

解答 （I）证明：以点A为原点，AC为y轴、AA₁为z轴建立空间直角坐标系A-xyz，
则由已知可得A（0，0，0），B（2$\sqrt{3}$，2，0），C（0，4，0），
A₁（0，0，4），E（$\sqrt{3}$，3，0），F（0，4，1），
于是$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（0，-4，4），$\overrightarrow{EF}$=（-$\sqrt{3}$，1，1），
∵$\overrightarrow{C{A}_{1}}$•$\overrightarrow{EF}$=（0，-4，4）•（-$\sqrt{3}$，1，1）=0-4+4=0，
∴EF⊥A₁C；
（II）解：设平面AEF的一个法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则由（I）得$\overrightarrow{AE}=（\sqrt{3}，3，0）$，$\overrightarrow{AF}=（0，4，1）$，
于是由$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AE}$，$\overrightarrow m⊥\overrightarrow{AF}$，
可得$\left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow m•\overrightarrow{AE}=0}\\{\overrightarrow m•\overrightarrow{AF}=0}\end{array}}\right.$，即$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+3y=0}\\{4y+z=0}\end{array}}\right.$，
取$\overrightarrow m=（\sqrt{3}，-1，4）$，
又由直三棱柱的性质可取侧面AC₁的一个法向量为$\overrightarrow n=（1，0，0）$，
$cosθ=\frac{|\overrightarrow m•\overrightarrow n|}{|\overrightarrow m|•|\overrightarrow n|}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{{2\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{15}}}{10}$，
∴所求二面角C-AF-E的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{10}$．

点评 本题主要考查线面关系及面面角，考查学生分析解决问题的能力，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．