Question

14．已知G为△ABC的重心，令$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$，过点G的直线分别交AB、AC于P、Q两点，且$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow b$，则$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=3．

Answer 1

分析 显然$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GP}$，根据G点为重心，从而$\overrightarrow{AG}$可以用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示，而$\overrightarrow{GP}$和$\overrightarrow{QP}$共线，从而$\overrightarrow{GP}=x\overrightarrow{QP}=x（\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AQ}）$，而已知$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow{b}$，从而会最后得到关于$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的式子：$（m-mx-\frac{1}{3}）\overrightarrow{a}+（nx-\frac{1}{3}）\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，从而得到$\left\{\begin{array}{l}{m-mx-\frac{1}{3}=0}\\{nx-\frac{1}{3}=0}\end{array}\right.$，两式联立消去x即可求出答案．

解答 解：如图，
$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GP}=\overrightarrow{AG}+x\overrightarrow{QP}$=$\overrightarrow{AG}+x（\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AQ}）$；
∴$（1-x）\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AG}-x\overrightarrow{AQ}$；
G为△ABC的重心；
∴$\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）$，$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AQ}=n\overrightarrow{b}$；
∴$m（1-x）\overrightarrow{a}=\frac{1}{3}（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）-nx\overrightarrow{b}$；
整理得，$（m-mx-\frac{1}{3}）\overrightarrow{a}+（nx-\frac{1}{3}）\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-mx-\frac{1}{3}=0}\\{nx-\frac{1}{3}=0}\end{array}\right.$；
消去x得，$m-\frac{m}{3n}=\frac{1}{3}$；
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$．
故答案为：3．

点评 考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，重心的性质：重心到顶点距离是它到对边中点距离的2倍，以及向量加法的平行四边形法则，向量的加法、减法运算，平面向量基本定理．