Question

9．设$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$为单位向量，非零向量$\overrightarrow a=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}，x，y∈R$，若$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$的夹角为$\frac{π}{4}$，则$\frac{|x|}{{\overrightarrow{|a|}}}$的最大值等于$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 利用数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{{x}^{2}{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}+{y}^{2}{\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}+2xy•cos\frac{π}{4}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+2xy•\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{2}xy}$，
只考虑x＞0，
则$\frac{|x|}{{\overrightarrow{|a|}}}$=$\frac{|x|}{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+\sqrt{2}xy}}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{y}{x}）^{2}+\sqrt{2}（\frac{y}{x}）}+1}$=$\frac{1}{\sqrt{（\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+\frac{1}{2}}}$$≤\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{y}{x}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号．
∴则$\frac{|x|}{{\overrightarrow{|a|}}}$的最大值等于$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．