Question

20．在△ABC的边AB、AC上分别取M、N，使$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，BN与CM交于点P，若$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{PM}=μ\overrightarrow{CP}$，则$\frac{λ}{μ}$=12．

Answer 1

分析 画出图形，连接AP，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MP}$，根据已知条件及共面向量基本定理即可用$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$来表示$\overrightarrow{AP}$：$\overrightarrow{AP}=\frac{1}{4（μ+1）}\overrightarrow{AB}+\frac{μ}{μ+1}\overrightarrow{AC}$，同理由$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NP}$又可由$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$表示$\overrightarrow{AP}$：$\overrightarrow{AP}=\frac{λ}{3（λ+1）}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{λ+1}\overrightarrow{AB}$，从而由平面向量基本定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4（μ+1）}=\frac{1}{λ+1}}\\{\frac{μ}{μ+1}=\frac{λ}{3（λ+1）}}\end{array}\right.$，而两式相除即可求得答案．

解答 解：如图，
连接AP，根据已知条件，$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MP}$=$\overrightarrow{AM}-\frac{μ}{μ+1}\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\frac{μ}{μ+1}$$（\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}）$=$\frac{1}{4（μ+1）}\overrightarrow{AB}+\frac{μ}{μ+1}\overrightarrow{AC}$；
同理有$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{AN}-\frac{1}{λ+1}\overrightarrow{BN}$=$\overrightarrow{AN}-\frac{1}{λ+1}（\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}）$=$\frac{λ}{λ+1}\overrightarrow{AN}+\frac{1}{λ+1}\overrightarrow{AB}$=$\frac{λ}{3（λ+1）}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{λ+1}\overrightarrow{AB}$；
根据平面向量基本定理，$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4（μ+1）}=\frac{1}{λ+1}}&{①}\\{\frac{μ}{μ+1}=\frac{λ}{3（λ+1）}}&{②}\end{array}\right.$；
$\frac{②}{①}$得，$4μ=\frac{λ}{3}$；
∴$\frac{λ}{μ}=12$．
故答案为：12．

点评 考查向量加法、减法的几何意义及其运算，共面向量基本定理，数乘的几何意义，以及平面向量基本定理．