Question

13．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2x}-2x，0＜x≤1}\\{{x}^{2}-2x-\frac{3}{2}，x＞1}\end{array}\right.$，g（x）=f（x）+a，则当实数a满足2＜a＜$\frac{5}{2}$时，函数y=g（x）的零点个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 当0＜x≤1时，f（x）=-（$\frac{1}{2x}$+2x），分析可知g（x）=f（x）+a有2个零点；当x＞1时，令x²-2x-$\frac{3}{2}$+a=0可判断函数y=g（x）有1个零点；从而确定零点的个数即可．

解答 解：①当0＜x≤1时，
f（x）=-（$\frac{1}{2x}$+2x）；
故f（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上是增函数，f（x）≤-2；
f（x）在（$\frac{1}{2}$，1]上是减函数，-$\frac{5}{2}$≤f（x）＜-2；
故当2＜a＜$\frac{5}{2}$时，g（x）=f（x）+a有2个零点；
②当x＞1时，令g（x）=f（x）+a=0得，
x²-2x-$\frac{3}{2}$+a=0，
△=4+4（$\frac{3}{2}$-a）=4（$\frac{5}{2}$-a）＞0；
故方程x²-2x-$\frac{3}{2}$+a=0有两个不同的根；
而对称轴为x=1；
故函数y=g（x）有1个零点；
综上所述，函数y=g（x）的零点个数为3；
故选：C．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及函数的单调性的判断与应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．