Question

6．若二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R）满足f（-1）=0，且对任意实数x，均有x-1≤f（x）≤x²-3x+3恒成立．
（1）求函数的解析式；
（2）若关于x的不等式f（x）≤nx-1的解集非空，求实数n的取值集合A．

Answer 1

分析 （1）使用待定系数法求函数的解析式，关键是根据已知条件构造方程组．
（2）当f（x）的二次系数a＞0时，f（x）≤0的解集非空?△≥0．

解答 解：（1）由x-1=x²-3x+3可得x=2，
故由题可知1≤f（2）≤1，
从而f（2）=1．
因此$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=1}\end{array}\right.$，
故b=$\frac{1}{3}$-a，c=$\frac{1}{3}$-2a．由x-1≤f（x）
得ax²-（$\frac{2}{3}$+a）x+$\frac{4}{3}$-2a≥0对x∈R恒成立，
故△=（$\frac{2}{3}$+a）²-4a（$\frac{4}{3}$-2a）≤0，
即9a²-4a+$\frac{4}{9}$≤0，
解得a=$\frac{2}{9}$，
故f（x）=2$\frac{2}{9}$x²+$\frac{1}{9}$x-$\frac{1}{9}$；
（2）由$\frac{2}{9}$x²+$\frac{1}{9}$x-$\frac{1}{9}$≤nx-1
得2x²+（1-9n）x+8≤0，
故△=（1-9n）²-64≥0，
解得n≤-$\frac{7}{9}$或n≥1，从而A=（-∞，-$\frac{7}{9}$]∪[1，+∞）．

点评 解一元二次不等式ax²+bx+c＞0 或ax²+bx+c＜0，反映在数量关系上就是考查二次方程ax²+bx+c=0的根，反映在图形上就是考查二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的关系．因此要熟练掌握“三个二次”之间的相互转换，善于用转化思想分析解决问题．