Question

20．已知函数y=mx与y=e^x在[-1，+∞）上无交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 根据导数的几何意义先求出直线和曲线相切的时候m的值，再求出直线与曲线在x=-1时m的值，结合图象得到m的取值范围．

解答 解：如图所示，设直线y=mx与y=e^x在相切且切点为（x₀，${e}^{{x}_{0}}$），x₀≥-1，
∴y′|x=x₀=${e}^{{x}_{0}}$=m，
又∵m=$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{x}_{0}}$，
∴${e}^{{x}_{0}}$=$\frac{{e}^{{x}_{0}}}{{x}_{0}}$，
∴x₀=1，y₀=e，
∵函数y=mx与y=e^x在[-1，+∞）上无交点，
∴m＜$\frac{e}{1}$=e，
当x=-1时，-m=$\frac{1}{e}$，
即m=-$\frac{1}{e}$，
∵函数y=mx与y=e^x在[-1，+∞）上无交点，
∴m＞-$\frac{1}{e}$，
综上所述，m的取值范围为（-$\frac{1}{e}$，e）

点评 本题考查了参数的取值范围，关键是利用数形结合的思想，属于中档题．