Question

5．锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bcosA+acosB=$\sqrt{3}$R，（R为△ABC外接圆的半径），若c=2，则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形求出sinC的值，确定出C的度数，利用余弦定理列出关系式，把c，cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形面积公式确定出三角形ABC面积的最大值即可．

解答 解：已知等式bcosA+acosB=$\sqrt{3}$R，利用正弦定理化简得：2RsinBcosA+2RsinAcosB=2R（sinAcosB+cosAsinB）=2Rsin（A+B）=2RsinC=$\sqrt{3}$R，
∴sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵C为锐角，
∴C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2ab•cocC，即4=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\sqrt{3}$，
则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．