Question

16．已知奇函数y=f（x）的导函数f′（x）＜0在R恒成立，且x，y满足不等式f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0，则$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的取值范围是（　　）

• A． $[0，2\sqrt{2}]$
• B． $[0，\sqrt{2}]$
• C． [1，2]
• D． $[\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 根据函数f（x）为奇函数，导函数f′（x）＜0，由不等式f（x²-2x）+f（y²-2y）≥0即可得到不等式x²-2x≤2y-y²，从而得到（x-1）²+（y-1）²≤2，根据该不等式所表示的几何意义即可求出$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$的最小值和最大值，从而求得其取值范围．

解答 解：因为函数y为奇函数，所以f（x²-2x）≥f（2y-y²）；
由函数y=f（x）的导函数f'（x）＜0在R恒成立，知函数y=f（x）为减函数；
∴x²-2x≤2y-y²；
即∴（x-1）²+（y-1）²≤2；
∴满足该不等式的点（x，y），在以（1，1）为圆心，半径为$\sqrt{2}$的圆及圆内部；
∴点（x，y）到原点的最小距离为0，最大距离为2$\sqrt{2}$；
故$\sqrt{{x^2}+{y^2}}$的取值范围是[0，$2\sqrt{2}$]．
故选：A．

点评 考查奇函数的概念，函数导数符号和函数单调性的关系，函数单调性定义的应用，以及圆的标准方程，能找出不等式所表示的平面区域．