Question

9．某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题．

（1）求全班人数及分数在[80，90）之间的频数；
（2）估计该班的平均分数，并计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高；
（3）若要从分数在[80，100]之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在[90，100]之间的概率．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图，根据频率=$\frac{频数}{样本容量}$的关系，求出全班人数以及分数在[80，90）之间的频数；
（2）【解法一】根据平均数的定义计算即可，
【解法二】利用频率分布直方图计算数据的平均数，
再计算频率分布直方图中[80，90）间的矩形高=$\frac{频率}{组距}$；
（3）用列举法计算在[80，100]之间的试卷中任取2份的基本事件数
以及至少有一个在[90，100]之间的基本事件数，计算对应的概率．

解答 解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为2，频率为0.008×10=0.08，
∴全班人数为$\frac{2}{0.08}=25$，
∴分数在[80，90）之间的频数为25-2-7-10-2=4；
（2）【解法一】分数在[50，60）之间的总分为56+58=114，
分数在[60，70）之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456，
分数在[70，80）之间的总分数为70×10+1+2+3+3+4+5+6+7+8+9=747，
分数在[80，90）之间的总分约为85×4=340，
分数在[90，100]之间的总分数为95+98=193，
∴该班的平均分数为$\frac{114+456+747+340+193}{25}=74$；
【解法二】分数在[50，60）之间的频率为$\frac{2}{25}=0.08$，
分数在[60，70）之间的频率为$\frac{7}{25}=0.28$，
分数在[70，80）之间的频率为$\frac{10}{25}=0.40$，
分数在[80，90）之间的频率为$\frac{4}{25}=0.16$，
分数在[90，100]之间的频率为$\frac{2}{25}-0.08$，
∴该班的平均分约为55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08=73.8；
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为$\frac{4}{25}÷10=0.016$；
（3）将[80，90）之间的4个分数编号为1，2，3，4，
[90，100]之间的2个分数编号为5，6，
在[80，100]之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），
（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），
（3，4），（3，5），（3，6），
（4，5），（4，6）（5，6）共15个；
其中，至少有一个在[90，100]之间的基本事件有9个，
故至少有一份分数在[90，100]之间的概率是$\frac{9}{15}=0.6$．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求基本事件数以及对应的概率问题，是基础题目．