Question

17．已知函数f（x）=$\frac{x}{2ax+1}$．
（1）证明：当x≥0时，e^-2x≥（$\frac{x}{x+1}$）²+2e^-x-1；
（2）设函数g（x）=1-e^-x，若当x≥0时，g（x）≤f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把要证明的不等式变形，得到证$（{e}^{-x}-1）^{2}≥（\frac{x}{x+1}）^{2}$（x＞0），进一步转化为证e^x-x-1≥0，
令g（x）=e^x-x-1，利用导数求得其最小值大于等于0得答案；
（2）当x≥0时，g（x）≥0，可得当a＜0时，不满足对任意x≥0，g（x）≤$\frac{x}{2ax+1}$恒成立；
当a≥0时，构造函数h（x）=2axg（x）+g（x）-x，问题化为h（x）≤0．对函数h（x）求导，把h（x）的导数转化为含有g（x）的表达式，然后对a分类讨论，当0≤a≤$\frac{1}{4}$有h（x）≤0成立；当a＞$\frac{1}{4}$时，h（x）≤0不成立，由此可得a的取值范围．

解答 （1）证明：要证e^-2x≥（$\frac{x}{x+1}$）²+2e^-x-1（x＞0），即证$（{e}^{-x}-1）^{2}≥（\frac{x}{x+1}）^{2}$（x＞0），
也就是证$1-{e}^{-x}≥\frac{x}{x+1}$，即证：e^x-x-1≥0，
令g（x）=e^x-x-1，则g'（x）=e^x-1
当x≥0时g'（x）≥0，g（x）在[0，+∞）是增函数，
于是g（x）在x=0处有最小值，
∴g（x）≥g（0）=0，
∴e^-2x≥（$\frac{x}{x+1}$）²+2e^-x-1（x＞0）；
（2）解：由题意x≥0，此时g（x）≥0
当a＜0时，若x＞-$\frac{1}{2a}$，则$\frac{x}{2ax+1}$＜0，g（x）≤$\frac{x}{2ax+1}$不成立；
当a≥0时，令h（x）=2axg（x）+g（x）-x，则
g（x）≤$\frac{x}{2ax+1}$当且仅当h（x）≤0．
∵g（x）=1-e^-x，∴h'（x）=2ag（x）+2axg'（x）+g'（x）-1
=2ag（x）-2axg（x）+2ax-g（x）
（i）当0≤a≤$\frac{1}{4}$时，由（1）知x≤（x+1）g（x）
h'（x）≤2ag（x）-2axg（x）+2a（x+1）g（x）-g（x）
=（4a-1）g（x）≤0，
h（x）在[0，+∞）是减函数，h（x）≤h（0）=0，即g（x）≤$\frac{x}{2ax+1}$
（ii）当a＞$\frac{1}{4}$时，由（i）知x≥g（x）
h'（x）=2ag（x）-2axg（x）+2ax-g（x）≥2ag（x）-2axg（x）+2ag（x）-g（x）
=（4a-1-2ax）g（x）．
当0＜x＜$\frac{4a-1}{2a}$时，h'（x）＞0，h（x）在[0，+∞）是增函数，h（x）＞h（0）=0，
即g（x）＞$\frac{x}{2ax+1}$．
综上，a的取值范围是[0，$\frac{1}{4}$]．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、通过构造函数研究函数的单调性解决问题的方法，考查了转化能力、推理能力与计算能力，属于难题．