Question

1．设函数f（x）=|x+a|+|2x-1|，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥3的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2x的解集包含[$\frac{1}{2}$，1]，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）问题转化为解不等式|x+1|+|2x-1|≥3，通过讨论x的范围，从而求出不等式的解集；
（Ⅱ）问题转化为解不等式|x+a|≤1，得到不等式组$\left\{\begin{array}{l}{-a-1≤\frac{1}{2}}\\{-a+1≥1}\end{array}\right.$，解出a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，不等式f（x）≥3可化为：
|x+1|+|2x-1|≥3，
x≥$\frac{1}{2}$时，3x≥3，解得：x≥1，
-1≤x＜$\frac{1}{2}$时，2-x≥3，解得：x=-1，
x＜-1时，-3x≥3，解得：x＜-1，
综上：原不等式的解集是{x|x≤-1或x≥1}；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2x的解集包含[$\frac{1}{2}$，1]，
∴不等式可化为|x+a|≤1，
解得：-a-1≤x≤-a+1，
由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{-a-1≤\frac{1}{2}}\\{-a+1≥1}\end{array}\right.$，解得：-$\frac{3}{2}$≤a≤0，
∴a的范围是[-$\frac{3}{2}$，0]．

点评 本题考查了绝对值不等式的解法，考查转化思想，分类讨论思想，是一道中档题．