Question

10．如图，在△ABC中，$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则$\frac{λ}{μ}$的值为3．

Answer 1

分析 根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BP}$，$\overrightarrow{BP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$，
∵$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$
∴$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{3}$（$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2}{9}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$，
∴λ=$\frac{2}{3}$，μ=$\frac{2}{9}$，
则$\frac{λ}{μ}$=$\frac{2}{3}$÷$\frac{2}{9}$=3，
故答案为：3

点评 本题主要考查平面向量基本定理的应用，根据向量的和差运算将向量进行分解是解决本题的关键．