Question

19．已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．
（Ⅰ）若f（x）≤a恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²-2x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）讨论x的范围，去掉绝对值号，从而求出a的范围；（Ⅱ）通过讨论x的范围，得到不同的f（x）的表达式，从而求出不等式的解集．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=|x-2|-|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≤-1}\\{-2x+1，-1＜x＜2}\\{-3，x＞2}\end{array}\right.$，
又当-1＜x＜2时，-3＜-2x+1＜3，
∴-3≤f（x）≤3，
∴若使f（x）≤a恒成立，应有a≥f_max（x），即a≥3，
∴a的取值范围是：[3，+∞）；
（Ⅱ）当x≤-1时，x²-2x≤3，
∴-1≤x≤3，∴x=-1；
当-1＜x＜2时，x²-2x≤-2x+1，
∴-1≤x≤1，∴-1＜x≤1；
当x≥2时，x²-2x≤-3，无解；
综合上述，不等式的解集为：[-1，1]．

点评 不同考查了绝对值不等式的解法，考查函数恒成立问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．