Question

12．如图1，已知点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD-A₁ B₁C_lD₁的棱AA₁、BB₁、DD₁的中点，点M、N、P、Q分别在线段AG、CF、BE、C₁D₁上运动，当以M、N、P、Q为顶点的三棱锥Q-PMN的俯视图是如图2所示的正方形时，则点P到QMN的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．

Answer 1

分析 可先由俯视图的特征判断出Q，P，M，N的位置，再运用等积法求出点P到平面MNQ的距离即可．

解答 解：∵点E、F、G分别是棱长为a的正方体ABCD-A₁ B₁C_lD₁的棱AA₁、BB₁、DD₁的中点，
点M、N、P、Q分别在线段AG、CF、BE、C₁D₁上运动，
∴当以M、N、Q、P为顶点的三棱锥Q-MNP的俯视图如如图2所示的正方形时，
M与A重合，Q与D₁重合，P与B重合，N与C重合，
在三棱锥Q-PMN中，V_Q-PMN=V_P-MNQ，
设P到平面QMN的距离为d，
由点Q到PMN的距离为等于正方体的棱长a，
则$\frac{1}{3}$a•S_△PMN=$\frac{1}{3}$d•S_△MNQ，
即有$\frac{1}{3}$a•$\frac{1}{2}$a²=$\frac{1}{3}$d•$\frac{\sqrt{3}}{4}$（$\sqrt{2}$a）²，
解得d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a．
则点P到QMN的距离为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$．
故答案为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}a$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法：等积法，根据三棱锥的俯视图，确定Q，P，M，N的位置是解决本题的关键．