Question

7．已知抛物线C₁：x²=4y的焦点是椭圆C₂短轴B₁B₂的一个端点B₁，而双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1与椭圆C₂共焦点．
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）过（0，-2）的直线l与椭圆C₂交于P、Q两点，若$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，试在抛物线上求一点M，使点M到直线l的距离最小．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出抛物线的焦点坐标，双曲线的焦点坐标，由此能求出椭圆的几何量，求出椭圆方程．
（2）设直线l的方程为：y=kx-2，联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ y=kx-2\end{array}\right.$，通过△＞0．求出k的范围，利用韦达定理结合数量积为0，求出k的值，求出直线方程，设出切点坐标，利用函数的导数求出切线的斜率，然后求解即可．

解答 解：（1）∵抛物线C₂：x²=4y的焦点坐标F（0，1），
双曲线C₂：$\frac{{x}^{2}}{2}$-y²=1的焦点坐标（$±\sqrt{3}$，0），椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）b=1，c=$\sqrt{3}$，a=2，
∴椭圆C₂的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）由题意可知：直线l的斜率显然存在，设直线l的方程为：y=kx-2，
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1\\ y=kx-2\end{array}\right.$，可得（1+4k²）x²-16kx+12=0，
△=（16k）²-4×12×（1+4k²）=16（4k²-3）＞0．
∴k²＞$\frac{3}{4}$，k$＜-\frac{\sqrt{3}}{2}$或$k＞\frac{\sqrt{3}}{2}$．x₁+x₂=$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$．
由$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，得x₁•x₂+y₁•y₂=0，即（1+k²）x₁•x₂-2k（x₁+x₂）+4=0，
化为（1+k²）$\frac{12}{1+4{k}^{2}}$-2k×$\frac{16k}{1+4{k}^{2}}$+4=0
解得k=±2，
∴l：y=±2x-2，
设M（x₀，y₀），在抛物线上求一点M，使点M到直线l的距离最小．
则抛物线过点M的切线平行于l，∴y′=$\frac{1}{2}$x₀=±2，∴x₀=±4，
∴点M（4，4）或M（-4，-4）．

点评 本题考查椭圆方程的求法，椭圆与直线方程的综合应用，函数的导数的应用，数量积的应用，解题时要认真审题，考查转化思想的应用．