Question

16．关于函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{4}$）有以下命题：
①若f（x₁）=f（x₂）=0，则x₁-x₂=kπ（k∈Z）；
②函数f（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上是减函败；
③将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位，得到的图象关于原点对称；
④函数f（x）的图象与函数g（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象相同．
其中正确命题为②④（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 ①由f（x₁）=f（x₂）=0，可得$2{x}_{1}-\frac{π}{4}$=${k}_{1}π+\frac{π}{2}$，$2{x}_{2}-\frac{π}{4}$=${k}_{2}π+\frac{π}{2}$，化简即可判断出正误；
②由x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]，可得$（2x-\frac{π}{4}）$∈[0，π]，即可判断出单调性；
③将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位，得到函数g（x）=$cos[2（x+\frac{π}{8}）-\frac{π}{4}]$=cos2x，即可判断出图象的对称性；
④利用诱导公式可得函数f（x）=$cos（\frac{π}{4}-2x）$=$sin[\frac{π}{2}-（\frac{π}{4}-2x）]$=$sin（2x+\frac{π}{4}）$，即可判断出正误．

解答 解：关于函数f（x）=cos（2x-$\frac{π}{4}$）有以下命题：
①若f（x₁）=f（x₂）=0，则$2{x}_{1}-\frac{π}{4}$=${k}_{1}π+\frac{π}{2}$，$2{x}_{2}-\frac{π}{4}$=${k}_{2}π+\frac{π}{2}$，∴x₁-x₂=$\frac{{k}_{1}-{k}_{2}}{2}$π（k₁，k₂，k∈Z），因此不正确；
②由x∈[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]，可得$（2x-\frac{π}{4}）$∈[0，π]，因此函数f（x）在区间[$\frac{π}{8}$，$\frac{5π}{8}$]上是减函数，正确；
③将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{8}$个单位，得到函数g（x）=$cos[2（x+\frac{π}{8}）-\frac{π}{4}]$=cos2x，其图象关于y轴对称，因此不正确；
④函数f（x）=$cos（\frac{π}{4}-2x）$=$sin[\frac{π}{2}-（\frac{π}{4}-2x）]$=$sin（2x+\frac{π}{4}）$，因此函数f（x）的图象与函数g（x）=sin（2x+$\frac{π}{4}$）的图象相同，因此正确．
综上正确命题为：②④．
故答案为：②④．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．