Question

3．用84个半径为1的球刚好填满一个正四面体容器，则该正四面体的棱长为8$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 由球与正四面体相切可得，第1层有1个球，第2层有3个球，第3层有6个球，第4层有10个球，第5层有15个球，第6层有21个球，第7层有28个球，可以计算得到S₇=1+3+6+10+15+21=84，设正四面体的顶点到第一层球的球心距离为d，运用等积法，将小正四面体分成4个小三棱锥，通过体积计算可得棱长，再求大正四面体的高，进而得到所求棱长．

解答 解：由球与正四面体相切可得，第1层有1个球，第2层有3个球，
第3层有6个球，第4层有10个球，第5层有15个球，第6层有21个球，
第7层有28个球，
可以计算得到S₇=1+3+6+10+15+21=84，
设正四面体的顶点到第一层球的球心距离为d，
由等积法可得第一层用平行于底面的平面来切，可得小的正四面体，
设边长为a，则由等积法可得$\frac{1}{3}$•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²•$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{1}{3}$•1•$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²，
解得a=2$\sqrt{6}$，
则所求正四面体的高为d+1+2×6=$\frac{\sqrt{6}}{3}$×2$\sqrt{6}$-1+13=16，
即有所求正四面体的边长为$\frac{16}{\frac{\sqrt{6}}{3}}$=8$\sqrt{6}$．
故答案为：8$\sqrt{6}$．

点评 本题考查正四面体与球的位置关系：相切，同时考查棱锥的体积的计算和等积法的运用，属于中档题和易错题．