Question

12．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，P为棱CD上的一点，且三棱锥A-CPD₁的体积为$\frac{2}{3}$．
（1）求CP的长；
（2）求直线AD与平面APD₁所成的角θ的正弦值；
（3）请直接写出正方体的棱上满足C₁M∥平面APD₁的所有点M的位置，并任选其中的一点予以证明．

Answer 1

分析 （1）根据三棱锥的等积法求解得出$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×CP$×2=$\frac{2}{3}$，求解即可得出CP，
（2）距离坐标系得出$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（1，2，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，2，2），运用向量的数量积得出法向量$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}|•\overrightarrow{|n|}}$，
（3）判断M点的位置为A₁B₁中点，平面APD₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），运用直线与平面的平行的判定定理得出C₁M∥平面APD₁．

解答 解：（1）依题意得，AD⊥平面CPD，AD=DD₁=2，
所以三棱锥A-CPD₁的体积为$\frac{1}{3}×2×\frac{1}{2}×CP$×2=$\frac{2}{3}$，
CP=1，
（2）以A为原点，AB，AD，AA₁，所在直线分别为x，y，z轴，建立坐标系，
A（0，0，0），D（0，2，0），P（1.2，0），D₁（0，2，2），
$\overrightarrow{AD}$=（0，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（1，2，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（0，2，2），
设平面APD₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}=0}\\{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}=0}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=0}\\{2y+2z=0}\end{array}\right.$得出$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-1}\\{z=1}\end{array}\right.$
∴$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
即sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD}|•\overrightarrow{|n|}}$=$\frac{2}{2×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
故直线AD与平面APD₁所成的角θ的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（3）∵M点的位置为A₁B₁中点，
可知C₁（2，2，2），M（1，0，2），$\overrightarrow{{C}_{1}M}$=（-1，-2，0），
∴平面APD₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（2，-1，1），
∴$\overrightarrow{{C}_{1}M}$$•\overrightarrow{n}$=0，
∵C₁M?平面APD₁，
∴C₁M∥平面APD₁

点评 本题考查了直线与平面所成的角，运用平面的法向量，结合向量的运用求解夹角，证明平行问题，属于有点计算能力的证明题目．