Question

1．已知函数f（x）=ax²+2blnx，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处得切线方程为y=x+2-6ln2．
（1）求实数a，b的值；
（2）讨论f（x）的单调性，并求f（x）的极小值．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义，及切线方程求出实数a，b的值；
（2）结合函数单调性和导数之间的关系求出函数的极值．

解答 解：（1）函数的导数为f′（x）=2ax+$\frac{2b}{x}$，函数的定义域为（0，+∞）
∵曲线y=f（x）在点（2，f（2））处得切线方程为y=x+2-6ln2．
∴f′（2）=1，f（2）=4-6ln2，
∴4a+b=1，4a+2bln2=4-6ln2，
∴a=1，b=-3，
（2）由（1）知，f（x）=x²-6lnx，f′（x）=$\frac{2x（x+\sqrt{3}）（x-\sqrt{3}）}{x}$，
∴函数在（0，$\sqrt{3}$）上单调递减，在（$\sqrt{3}$，+∞）上单调递增，
∴x=$\sqrt{3}$时，函数取得极小值6-3ln3．

点评 本题主要考查导数的几何意义的应用以及函数极小值，求函数的导数，利用导数研究函数的性质是解决本题的关键．考查学生的运算能力．