Question

16．已知椭圆C的焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=$\frac{1}{2}$，P为椭圆上任意一点，△PF₁F₂的周长为6．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过点S（4，0）且斜率不为0的直线l与椭圆C交于Q，R两点，点Q关于x轴的对称点为Q₁，过点Q₁与R的直线交x轴于T点，试问△TRQ的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据椭圆的定义与几何性质，即可求出它的标准方程；
（Ⅱ）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，消去一个未知数，化为一元二次方程的问题，判断S_△TRQ是否有最大值，再求求．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a＞b＞0；
∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$①，
|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=6②，
a²-b²=c²③；
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴椭圆C的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…4分
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my+4，
与椭圆的方程联立，得$\left\{\begin{array}{l}{x=my+4}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
消去x，得
（3m²+4）y²+24my+36=0，
∴△=（24m）²-4×36（3m²+4）=144（m²-4）＞0，
即m²＞4；  …6分
设Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），则Q₁（x₁，-y₁），
由根与系数的关系，得$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-24m}{4+3{m}^{2}}}\\{{y}_{1}{y}_{2}=\frac{36}{4+3{m}^{2}}}\end{array}\right.$；
直线RQ₁的斜率为k=$\frac{{y}_{2}{-（-y}_{1}）}{{x}_{2}{-x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}{+y}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$，且Q₁（x₁，y₁），
∴直线RQ₁的方程为y+y₁=$\frac{{y}_{2}{+y}_{1}}{{x}_{2}{-x}_{1}}$（x-x₁）；
令y=0，得x=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}{{+x}_{2}y}_{1}}{{y}_{1}{+y}_{2}}$=$\frac{（{my}_{1}+4{）y}_{2}{+y}_{1}（{my}_{2}+4）}{{y}_{1}{+y}_{2}}$=$\frac{2{{my}_{1}y}_{2}+4{（y}_{1}{+y}_{2}）}{{y}_{1}{+y}_{2}}$，
将①②代人上式得x=1；…9分
又S_△TRQ=$\frac{1}{2}$|ST|•|y₁-y₂|=$\frac{3}{2}$$\sqrt{{{（y}_{1}{+y}_{2}）}^{2}-{{4y}_{1}y}_{2}}$
=18×$\frac{\sqrt{{m}^{2}-4}}{{3m}^{2}+4}$
=18×$\frac{\sqrt{{m}^{2}-4}}{3{（m}^{2}-4）+16}$
=18×$\frac{1}{3\sqrt{{m}^{2}-4}+\frac{16}{\sqrt{{m}^{2}-4}}}$≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
当3$\sqrt{{m}^{2}-4}$=$\frac{16}{\sqrt{{m}^{2}-4}}$，即m²=$\frac{28}{3}$时取得“=”；
∴△TRQ的面积存在最大值，最大值是$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．…12分．

点评 本题考查了圆锥曲线的定义域几何性质的应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，利用基本不等式求函数的最值问题，是综合性题目．