Question

8．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求点D到平面PAC的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB的中点O，连接PO，CO，AC，由已知条件推导出PO⊥AB，CO⊥AB，从而AB⊥平面PCO，由此能证明AB⊥PC．
（Ⅱ）由V_B-PAC=V_P-ABC，求点D到平面PAC的距离．

解答 （Ⅰ）证明：取AB的中点O，连接PO，CO，AC，
∵△APB为等腰三角形，∴PO⊥AB…（2分）
又∵四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，
∴△ACB是等边三角形，∴CO⊥AB…（3分）
又CO∩PO=O，∴AB⊥平面PCO，
又PC?平面PCO，∴AB⊥PC．…（4分）
（II）解：∵∠APB=90°，AB=2，AP=BP=$\sqrt{2}$，∴PO=1
∵△ABC是边长为2的正三角形，
∴OC=$\sqrt{3}$
又PC=2，
∴PO²+CO²=PC²，
∴PO⊥OC，
又PO⊥AB，AB∩OC=O，
∴PO⊥平面ABC，…（8分）
∵四边形ABCD是菱形，
∴B，D到平面PAC的距离相等，设为h，
∵S_△PAC=$\frac{1}{2}•\sqrt{2}•\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，S_△ABC=$\sqrt{3}$．
∴由V_B-PAC=V_P-ABC，可得$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{7}}{2}h=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1$，…（10分）
∴h=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查求点D到平面PAC的距离，正确运用等体积法求解是关键．